グラフＧをループを持たない連結な３正則グラフとする時、次のような予想を立てました：「Ｇの辺は３彩色可能⇔Ｇの任意の異なる２頂点について、この２頂点を通る閉路が必ず存在する」

※Ｇが平面グラフの時には成立する事がわかっています。Ｇが平面グラフでない場合について調べています。

この予想は解決済みでしょうか。

もし解決済みでしたら、定理の名称や反例が知りたいです。

（文芸回答可）

(7/16:編集:「単連結」という用語を誤って使っていましたので書き直します。「単連結でない」を「任意の異なる２頂点を通る閉路が必ず存在する」としました。）